傅立叶变换处理图像的原理
图a (1) 原始图片 (2) 使用高斯低通滤波器 (3) 使用高斯高通滤波器 本文中的原始图像来自 OpenCV Github 示例。
数字图像现在已经成为我们日常生活的一部分。因此，数字图像处理变得越来越重要。如何提高图像的分辨率或降低图像的噪声一直是人们热门话题。傅里叶变换可以帮助我们解决这个问题。我们可以使用傅立叶变换将灰度像素模式的图像信息转换成频域并做进一步的处理。
今天，我将讨论在数字图像处理中，如何使用快速傅立叶变换，以及在 Python 中如何实现它。操作流程如下 (从左到右):
图b (1)实现快速傅立叶变换，将灰度图像转换为频域 (2)零频域部分的可视化与集中 (3)应用低/高通滤波器过滤频率 (4)离散 (5)实现快速傅里叶逆变换生成图像数据
让我们深入到每一部分，找出这些步骤背后的理论。
快速傅里叶逆变换
图c (1)原始图像 (2)FFT频谱的可视化输出 (3)集中化 (4)离散化 (5)逆向 FFT
与现实生活中的光波和声波不同，由于像素的不连续性，数字图像是离散的。这意味着我们应该实现离散傅立叶变换（DFT）而不是傅立叶变换。然而，离散傅立叶变换（DFT）常常太慢而不实用，这就是我选择快速傅立叶变换（FFT）进行数字图像处理的原因。
第一步：计算二维快速傅里叶变换
快速傅立叶变换（FFT）处理的结果是一个很难直接可视化的复数数组。因此，我们必须把它转换成二维空间。这里有两种方法可以可视化这个快速傅立叶变换（FFT）结果：1、频谱 2、相位角
图d (1)频谱 (2)相位角
从图d(1) 可以看出，四个角上有一些对称图案。这些图案可以在下一步中转换到图像的中心。
频谱图像中的白色区域显示出较高的频率。频谱图像中的角表示低频域。因此，结合以上两点，角上的白色区域表明：在低/零频域中存在高频率，这对于大多数图像来说是非常正常的情况。
另一方面，很难从图d(2) 中识别出任何明显的图案，这并不代表快速傅立叶变换（FFT）的相位角完全没有用处，因为相位保留了图像所必需的形状特征。
第二步：将零频域部分移到频谱中心
二维快速傅立叶变换（FFT）具有平移和旋转特性，因此我们可以在不丢失任何信息的情况下移动频谱。我把零频域部分移到了频谱的中心，这使得频谱图像对人类更为可见。此外，这种转换可以帮助我们轻松实现高通/低通滤波器。
步骤 3：与步骤 2 相反。将零频域部分移回原位置
步骤 4：与步骤 1 相反。计算二维快速傅里叶逆变换。
步骤 3 和步骤 4 的过程是将频谱信息转换回灰度图像。它可以通过应用逆向移位和快速傅立叶变换（FFT）的逆运算来实现。
编码
在 Python 中，我们可以利用 numpy 模块中的 numpy.fft 轻松实现快速傅立叶变换（FFT）运算操作。
在理解了傅里叶变换背后的基本理论之后，我们就可以研究如何控制频谱输出来处理图像了。首先，我们需要了解低/高通滤波器。
低通滤波器
图e 低通滤波器是一种只允许低频谱通过的滤波器。图像中的低频谱意味着像素值变化缓慢。例如，图像中颜色变化较小的平滑区域（如新空白白纸的中心）被视为低频谱内容。
由于低通滤波器的输出只允许低频通过，对噪声等高频谱内容进行了阻塞，使得处理后的图像具有较少的噪声像素。因此，低通滤波器被广泛应用于图像的去噪。
高通滤波器
图f 相反，高通滤波器是只允许高频谱通过的滤波器。图像中的高频谱意味着像素值变化很大。例如，图像中颜色变化较大的边缘区域，如两张重叠的白纸和黑纸之间的边缘，被认为是高频谱内容。
在图像中，通过做适当的重复计算来锐化原图像，能用适当的重复计算来锐化原始图像的图像，从高通滤波器的输出可获得图像中的边缘。这将增强原始图像的清晰度，使边缘更加清晰。
从图e(5)和图f(5)，我们可以注意到这两个滤波器呈现不同的特性。低通滤波器倾向于保留图像中的整体信息。另一方面，高通滤波器试图辨别出图像中的变化。
在了解了前一节中的低通/高通滤波器的工作原理后，让我们继续认识滤波器形状。
理想的滤波器
图g (1) 使用 \(D_0=50\) 的低通滤波器 (2) 使用 \(D_0=50\) 的高通滤波器
公式(a): 在理想低通滤波器的公式中，\(D_0\) 是合理常量，\(D(u, v)\) 是频域中一点 \((u,v)\) 与频域矩形中心之间的距离
在理想滤波器背后的概念非常简单：给定一个半径值 \(D_0\) 作为阈值，低通滤波器图g(1)在阈值下 \(H(u,v)\) 等于 1，在阈值以上 \(H(u,v)\) 等于 0。
\[H(u,v)=\begin{cases}0&\textrm{if }D(u,v)\le D_0\\1&\textrm{if }D(u,v)>D_0\end{cases}\]公式(b): 在理想高通滤波器的公式中，\(D_0\) 是合理常量，\(D(u, v)\) 是频域中一点 \((u,v)\) 与频域矩形中心之间的距离
相反，高通滤波器图g(2)在阈值下 \(H(u,v)\) 等于 0，在阈值以上 \(H(u,v)\) 等于 1。
巴特沃思（Btterworth）滤波器
图h (1)使用 n=20，\(D_0=50\) 的 Butterworth 低通滤波器 (2)使用 n=20，\(D_0=50\) 的 Butterworth 高通滤波器
图i (1)使用 n=3 的 Butterworth 低通滤波器 (2)使用 n=3 的 Butterworth 高通滤波器
公式(c): 在 Butterworth 低通滤波器的公式中，\(D_0\) 是一个合理常量，\(D(u,v)\) 是频域中一点 \((u,v)\) 与频域矩形中心之间的距离
与理想滤波器不同的是，巴特沃斯滤波器没有明显的不连续性，使得通过的频率和被过滤的频率之间有明显的边界。巴特沃斯滤波器在函数中引入了一个新的参数 n。当操作 n 时，它影响着通过的频率和被过滤的频率之间边界的清晰程度。图h 和图i
\[H(u,v)=\frac{1}{1+[D_0/D(u,v)]^{2n}}\]公式(d): 在 Butterworth 高通滤波器的公式中， \(D_0\) 是一个合理常量，\(D(u,v)\) 是频域中一点 \((u,v)\) 与频域矩形中心之间的距离
高斯（Gaussian）滤波器
图j (1) 使用 \(D_0=50\) 的高斯低通滤波器 (2)使用 \(D_0=50\) 的高斯低通滤波器
公式(e): 在高斯低通滤波器的公式中，\(D_0\) 是一个合理常量，\(D(u,v)\) 是频域中一点 \((u,v)\) 与频域矩形中心之间的距离
与巴特沃斯滤波器相比，高斯滤波器产生的边界更平滑。通过的频谱和被过滤的频谱之间的边界非常模糊，这便可以更平滑的处理图像。
\[H(u,v)=1-\exp -\frac{D^2(u,v)}{2D_0^2}\]公式 (f): 在高斯高通滤波器的公式中，\(D_0\) 是一个合理常量，\(D(u,v)\) 是频域中一点 \((u,v)\) 与频域矩形中心之间的距离
滤波器比较
图k 理想滤波器, n=10 的 Butterworth 滤波器和 \(D_0=50\) 的高斯滤波器
我把所有不同的过滤器放在图k 中，以总结我们在过滤器设计中所做的工作。从左到右，圆的边缘变得模糊，这将对输出结果产生不同的影响
总体上来看，巴特沃斯滤波器是介于理想滤波器和高斯滤波器之间的滤波器。
低通滤波器的结论 
图l (1)理想滤波器的输出 (2)巴特沃斯滤波器的输出 (3)\(D_0=50\) 时高斯滤波器的输出
图l 显示所有三个滤波器都是低通滤波器，因为输出图像保留了整个图像信息。此外，我们可以很容易地注意到高斯滤波器由于低失真比其他两个滤波器表现更好。理想滤波器产生大量波形噪声的原因是，理想滤波器的设计阻塞了距离原点一定半径以外的所有信息。因此，有些信息会在没有任何平滑的情况下急剧中断。相反，巴特沃斯滤波和高斯滤波是平滑的阻塞在距离原点一定半径之外的信息，这使得图像更平滑，失真更小。
高通滤波器的结论 
图m (1)理想滤波器的输出 (2)巴特沃斯滤波器的输出 (3)\(D_0=50\) 时高斯滤波器的输出
毫无疑问，图m 中的滤波器是高通滤波器，因为输出结果只捕获边缘。在滤波器中，高通滤波器结果的差异类似于低通滤波器结果。与巴特沃斯滤波器和高斯滤波器相比，理想滤波器的滤波结果有很多失真。
结束语
傅立叶变换是处理二维信息的有力工具。FT 允许我们在另一个维度处理图像，这带来了更大的灵活性。