奇异值分解

参考:漫漫成长
以下内容来自刘建平Pinard的学习笔记，总结如下：

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称 SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对 SVD 的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用 SVD 的。

1. 回顾特征值和特征向量

首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

$Ax=\lambda x$

其中 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵， $x$ 是一个 $n$ 维向量，则 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，而 $x$ 是矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵 $A$ 特征分解。如果我们求出了矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值 $\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\le\lambda_n$ ，以及这 $n$ 个特征值所对应的特征向量 $w_1, w_2,\cdots,w_n$,

那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

\[\begin{equation}A=W\Sigma W^{-1}\end{equation}\]

其中 $W$ 是这 $n$ 个特征向量所张成的 $n\times n$ 维矩阵，而 $\Sigma$ 为这 $n$ 个特征值为主对角线的 $n\times n$ 维矩阵。

一般我们会把 $W$ 的这 $n$ 个特征向量标准化，即满足 $\Vert w_i\Vert _2=1$，或者 $w_i^Tw_i=1$，此时 $W$ 的 $n$ 个特征向量为标准正交基，满足 $W^TW=I$，即 $W^T=W^{-1}$，也就是说 $W$ 为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成

\[A=W\Sigma W^T\]

注意到要进行特征分解，矩阵 $A$ 必须为方阵。

那么如果 $A$ 不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的 SVD 登场了。

2. SVD 的定义

SVD 也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD 并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，那么我们定义矩阵 $A$ 的 SVD 为：

\[A=U\Sigma V^T\]

其中 $U$ 是一个 $m\times m$ 的矩阵， $\Sigma$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为 0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。$U$ 和 $V$ 都是酉矩阵，即满足 $U^TU=I$，$V^TV=I$。下图可以很形象的看出上面 SVD 的定义：

那么我们如何求出 SVD 分解后的 $U, \Sigma, V$ 这三个矩阵呢？

如果我们将 $A$ 的转置和 $A$ 做矩阵乘法，那么会得到 $n\times n$ 的一个方阵 $A^T A$。既然 $A^T A$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

\[(A^T A)v_i=\lambda_i v_i\]

这样我们就可以得到矩阵 $A^T A$ 的 $n$ 个特征值和对应的 $n$ 个特征向量 $v$ 了。将 $A^T A$ 的所有特征向量张成一个 $n\times n$ 的矩阵 $V$，就是我们 SVD 公式里面的 $V$ 矩阵了。一般我们将 $V$ 中的每个特征向量叫做 $A$ 的右奇异向量。

如果我们将 $A$ 和 $A$ 的转置做矩阵乘法，那么会得到 $m\times m$ 的一个方阵 $AA^T$。既然 $AA^T$ 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

\[(AA^T)u_i=\lambda_iu_i\]

这样我们就可以得到矩阵 $AA^T$ 的 $m$ 个特征值和对应的 $m$ 个特征向量 $u$ 了。将 $AA^T$ 的所有特征向量张成一个 $m\times m$ 的矩阵 $U$，就是我们 SVD 公式里面的 $U$ 矩阵了。一般我们将 $U$ 中的每个特征向量叫做 $A$ 的左奇异向量。

$$U$ 和 $V$ 我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 $\Sigma$ 没有求出了.

由于 $\Sigma$ 除了对角线上是奇异值其他位置都是 0，那我们只需要求出每个奇异值 $\sigma$ 就可以了。

我们注意到:

\[A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^T V\Rightarrow AV=U\Sigma\Rightarrow Av_i=\sigma_iu_i\Rightarrow\sigma_i=A\frac{v_i}{u_i}\]

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 $\Sigma$。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $A^TA$ 的特征向量组成的就是我们 SVD 中的 $V$ 矩阵，而 $AA^T$ 的特征向量组成的就是我们 SVD 中的 $U$ 矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以 $V$ 矩阵的证明为例。

\[A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V\Sigma U^T\Rightarrow A^T A=V\Sigma U^TU\Sigma V^T=V\Sigma^2V^T\]

上式证明使用了 $UU^T=I$, $\Sigma^T=\Sigma$。可以看出 $A^TA$ 的特征向量组成的的确就是我 SVD 的 $V$ 矩阵。类似的方法可以得到 $AA^T$ 的特征向量组成的就是我 SVD 的 $U$ 矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

\[\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}\]

这样也就是说，我们可以不用 $\sigma_i=\frac{Av_i}{u_i}$ 来计算奇异值，也可以通过求出 $A^TA$ 的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD 计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

\[\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

首先求出 $A^TA$ 和 $AA^T$

\[\begin{aligned}&A^TA=\begin{bmatrix} 0&1&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1\\1&1\\1&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\\ &AA^T=\begin{bmatrix}0&1\\1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{bmatrix}\end{aligned}\]

进而求出 $A^TA$ 的特征值和特征向量：

\[\begin{align*} &\lambda_1=3; v_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\\ &\lambda_2=1; v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} \end{align*}\]

接着求出 $AA^T$ 的特征值和特征向量：

\[\begin{aligned} &\lambda_1=3; u_1=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\\ &\lambda_2=1; u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\\ &\lambda_3=0; u_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix} \end{aligned}\]

利用 $Av_i=\sigma_iu_i, i=1,2$ 求奇异值：

\[\begin{aligned} &\begin{bmatrix}0&1\\1&1\\1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\sigma_1\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}\Rightarrow\sigma_1=\sqrt 3\\ &\begin{bmatrix}0&1\\1&1\\1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=\sigma_2\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\Rightarrow\sigma_2=1 \end{aligned}\]

也可以用 $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$ 直接求出奇异值为 $\sqrt 3$ 和1.

最终得到A的奇异值分解为：

\[A=U\Sigma V^T=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 6}&\frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 3}\\ \frac{2}{\sqrt 6}&0&-\frac{1}{\sqrt 3}\\ \frac{1}{\sqrt 6}&-\frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sqrt 3&0\\0&1\\0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 2}\\-\frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix}\]

4. SVD的一些性质

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。

也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。

也就是说：

\[A_{m\times n}=U_{m\times m}\Sigma_{m\times n}V_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}\Sigma_{k\times k}V_{k\times n}^T\]

其中 $k$ 要比 $n$ 小很多，也就是一个大的矩阵 $A$ 可以用三个小的矩阵 $U_{m\times k}, \Sigma_{k\times k}, V_{k\times n}^T$ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质 SVD 以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

下面我们就 SVD 于PCA降维做一个介绍。

5. SVD 用于PCA

PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 $X^TX$ 的最大的 $d$ 个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $X^TX$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们 SVD 可以得到协方差矩阵 $X^TX$ 最大的 $d$ 个特征向量张成的矩阵，但 SVD 个好处，有一 SVD 实现算法可以不求先求出协方差矩阵 $X^TX$，也能求出我们的右奇异矩阵 $V$。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是 SVD 完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn 的 PCA 算法的背后真正的实现就是用 SVD 而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到 PCA 仅仅使用了我 SVD 右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是 $m\times n$ 的矩阵 $X$，如果我们通 SVD 到了矩阵 $XX^T$ 最大的 $d$ 个特征向量张成的 $m\times d$ 维矩阵 $U$，则我们如果进行如下处理：

\[X_{d\times n}^\prime=U_{d\times m}^TX_{m\times n}\]

可以得到一个 $d\times n$ 的矩阵 $X^\prime$,这个矩阵和我们原来的 $m\times n$ 维样本矩阵 $X$ 相比，行数从 $m$ 减到了 $k$，可见对行数进行了压缩。

• 左奇异矩阵可以用于行数的压缩。
• 右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的 PCA 降维。

6. SVD小结　

SVD 作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由 SVD 以实现并行化，因此更是大展身手。

SVD 的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。