贷款利率

等额本息

参考 等额本息还款法, 借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。

1. 公式计算
   这里的月利率按照银行贷款的内部收益率(internal rate of return, IRR)计算, 实际利率effective rate即为内部收益率.
   贷款额 $c_0$
   月利率 $i$
   年利率 $I=12i$
   还款月数 $n$
   每月还款额 $b$
   还款利息总和 $Y=nb-c_0$
   剩余本金可以用本金-还本金部分计算，也可以用本金(1+利率)-还款额计算
   第一个月后在贷本金

   \[c_1=c_0(1+i)-b\]

   第二个月后在贷本金

   \[c_2=[c_0(1+i)-b](1+i)-b=c_0(1+i)^2-b[1+(1+i)]\]

   第三个月后在贷本金

   \[\begin{align*}c_3=&\left[c_0(1+i)^2-b[1+(1+i)]\right](1+i)-b\\ =&c_0(1+i)^3-b[1+(1+i)+(1+i)^2]\end{align*}\] \[\begin{align*}c_m=&c_0(1 + i)^m - b[ 1 + (1 + i)+ (1 + i)^2 +\cdots+(1+i)^{m-1}]\\ =&c_0(1 + i)^m - b\frac{(1 + i)^m}{i}\end{align*}\]

   由于还款总期数为 $n$，也即第 $n$ 月刚好还完银行所有贷款，即 $c_n = 0$, 则

   \[b = c_0i\frac{(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}=\frac{c_0i}{1-(1+i)^{-n}}\]

2. 名义利率 对于网贷，小额贷款，信用卡分期，月利率使用的是名义利率(Nominal Interest Rate)或 APR(Annual Percentage Rate).

   \[\textrm{IRR}=\textrm{Effective Rate}=\left(1+\frac{i}{n}\right)^n-1\]

   其中 $i$ 为名义年利率，$n$ 为一年内的复利周期次数（如季度、月度等）.

   \[b_\textrm{n}=c_0\left(\frac{1}{n}+i\right)\]
3. 每月还款
   第 $m$ 月后在贷本金 $c_m$, 月利率 $i$, 贷款额 $a$, 还款月数 $n$.
   每月还款额 $b$, 每月还本金 $p_m$, 每月还利息 $q_m$.
   第 $m$ 月, 本金为 $c_{m-1}$
   • 生成的利息为 $q_m = ic_{m-1}$ 全部还掉
   • 本金还掉 $p_m = b-ic_{m-1}$
   • 剩余本金 $c_m=c_{m-1}-p_m=(1+i)c_{m-1}-b$

   实际上每月还款额只和当前在贷本金 $c_0$, 剩余还款月数 $n$ 和月利率 $i$ 有关.

4. 提前还贷

   import numpy as np
   c = 2619815.66  # 本金
   i = 4.2 / 100 / 12  # 月利率
   n = 28 * 12  # 剩余期数
   b = c * i * (1 + i)**n / ((1 + i)**n - 1)  # 每月还款额
   print(f"每月还款额 ￥{b:.2f}")
   c1 = 700000  # 提前还款数
   n1 = -np.log(1 - (c - c1) * i / b) / np.log(1 + i)  # 提前还款后剩余期数
   print(f"提前还款 ￥{c1}\n可以提前 {int(np.divmod(n-n1, 12)[0])} 年零 {np.divmod(n-n1, 12)[1]:.2f} 个月还清贷款")
   

5. Excel实现
   1. 计算等额本息还款表
      1. PMT函数 计算每月还款额
      2. PPMT函数 计算每月在贷本金
      3. IMPT函数 计算每月还款利息
      4. NOMINAL 计算名义利率
   2. 根据还款计划计算年化利率
      1. NPV函数 计算净现值
      2. IRR函数 计算年利率(内部收益率)
      3. XIRR函数 计算年利率(不定期)

等额本金

等额本金还款，借款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。

1. 公式计算
   贷款额 $a$，月利率 $i$，年利率 $I=12i$，还款月数 $n$, 每月归还本金 $a/n$
   第一个月还款额

   \[b_1=a\left(\frac{1}{n}+i\right)\]

   第二个月还款额

   \[b_2=\frac{a}{n}+a\left(1-\frac{1}{n}\right)i\]

   第三个月还款额

   \[\begin{gathered}b_3=\frac{a}{n}+a\left(1-\frac{2}{n}\right)i \\ \cdots \\ b_m=\frac{a}{n}+a\left(1-\frac{m-1}{n}\right)i\end{gathered}\]

   总还款额

   \[B=\sum_{m=1}^nb_m=a\left(1+\frac{n+1}{2}i\right)\]